Restklassenkörper/Z mod p/Primitive Einheit/Bemerkung

Der Fakt sagt insbesondere, dass es für eine Primzahl ${}p$ primitive Elemente im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ gibt. Er ist lediglich ein Existenzsatz und gibt keinen Hinweis, wie primitive Elemente zu konstruieren oder zu finden sind. Für eine Primzahl ${}p$ und eine Einheit ${}g\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ bedeutet die Eigenschaft, primitiv zu sein, dass ein Gruppenisomorphismus

$(\mathbb {Z} /(p-1),+,0)\longrightarrow ({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\cdot ,1),\,i\longmapsto g^{i},$

vorliegt. Für eine beliebige natürliche Zahl ${}n$ ist die Einheitengruppe der Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(n)$ im Allgemeinen nicht zyklisch. Wir werden später diejenigen Zahlen charakterisieren, die diese Eigenschaft besitzen.