Restklassenring/Z mod n/Multiplikative Ordnung und Divisionsalgorithmus/Fakt

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit der Faktorzerlegung

${}n=2^{r}\cdot 5^{s}\cdot d\,,$

wobei ${}d$ zu ${}n$ teilerfremd sei ( ${}r,s=0$  und  ${}d=1$  sind erlaubt).

Dann ist die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von ${}{\frac {1}{n}}$ gleich der multiplikativen Ordnung von ${}10$ in ${}\mathbb {Z} /(d)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen