Restklassenring/Z mod n/Multiplikative Ordnung und Divisionsalgorithmus/Fakt/Beweis

Beweis

Die Periodenlänge einer abbrechenden Dezimalentwicklung verstehen wir als $1$ (die $0$ wiederholt sich). Da die $10$ teilerfremd zu $d$ ist, ist $10$ in $\mathbb{Z}/(d)$ eine Einheit und besitzt daher eine multiplikative Ordnung. Der Divisionsalgorithmus berechnet sukzessive die Reste von $10^i$ in $\mathbb{Z}/(n)$, da ja der vorhergehende Rest mit $10$ multipliziert wird. Periode tritt ein, wenn sich Reste erstmalig wiederholen, wenn also  $10^i=10^j$  in $\mathbb{Z}/(n)$ mit  $i<j$  ist und $i,j$ minimal mit dieser Eigenschaft sind. Der chinesische Restsatz liefert die Isomorphie

$\mathbb{Z}/(n)=\mathbb{Z}/(2^r)\times \mathbb{Z}/(5^s)\times \mathbb{Z}/(d),$

und die Bedingung  $10^i=10^j$  muss in den drei Komponenten gelten. In den ersten beiden Komponenten ist $10$ nilpotent, da ja $10^r$ ein Vielfaches von $2^r$ und $10^s$ ein Vielfaches von $5^s$ ist. Diese Komponenten sind also für die Periodenlänge unerheblich (allerdings spielen sie eine Rolle für die Frage, wann frühestens die Periodizität anfängt). In der dritten Komponente ist $10$ eine Einheit, also ein Element der Einheitengruppe ${(\mathbb{Z}/(d))}^{\times }$. Nach Fakt tritt die erste Wiederholung ein, wenn erstmalig  $10^j=10^0=1$  gilt, also bei der multiplikativen Ordnung von $10$.

Zur bewiesenen Aussage