Restklassenring/Z mod n/Multiplikative Ordnung und Divisionsalgorithmus/Fakt/Beweis
Die Fälle oder sind erlaubt. Die Periodenlänge einer abbrechenden Dezimalentwicklung verstehen wir als (die wiederholt sich). Da die teilerfremd zu ist, ist in eine Einheit und besitzt daher eine multiplikative Ordnung. Der Divisionsalgorithmus berechnet sukzessive die Reste von in , da ja der vorhergehende Rest mit multipliziert wird. Periode tritt ein, wenn sich Reste erstmalig wiederholen, wenn also in mit ist und minimal mit dieser Eigenschaft sind. Der chinesische Restsatz liefert die Isomorphie
und die Bedingung muss in den drei Komponenten gelten. In den ersten beiden Komponenten ist nilpotent, da ja ein Vielfaches von und ein Vielfaches von ist. Diese Komponenten sind also für die Periodenlänge unerheblich (allerdings spielen sie eine Rolle für die Frage, wann frühestens die Periodizität anfängt). In der dritten Komponente ist eine Einheit, also ein Element der Einheitengruppe . Nach Fakt tritt die erste Wiederholung ein, wenn erstmalig gilt, also bei der multiplikativen Ordnung von .
