Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt/Beweis2

Sei $a\in {\mathbb {Z} }/(p)$ eine Einheit, also teilerfremd zu $p$. Die Projektion $\varphi :{\mathbb {Z} }/(p^{r})\longrightarrow {\mathbb {Z} }/(p)$ ist eine Restklassenabbildung, also surjektiv, so dass es Elemente $b\in {\mathbb {Z} }/(p^{r})$ gibt, die auf $a$ geschickt werden: $\varphi (b)=a$. Wir zeigen, dass ein solches Element eine Einheit in ${\mathbb {Z} }/(p^{r})$ ist. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann ist $b$ nicht teilerfremd zu $p^{r}$ und zu $p$, also ist es ein Vielfaches von $p$, sagen wir $b=mp$. Dann gilt in ${\mathbb {Z} }/(p^{r})$ die Beziehung

$b^{r}=(pm)^{r}=p^{r}m^{r}=0\,.$

Das heißt, dass das Element $b$ nilpotent ist. Dann ist aber ebenfalls $\varphi (b)$ nilpotent, da ein Ringhomomorphismus nilpotente Elemente in nilpotente Elemente überführt. Dies bedeutet $a=\varphi (b)=0$ im Widerspruch dazu, dass $a$ eine Einheit ist.