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Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt/Beweis2

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Sei eine Einheit, also teilerfremd zu . Die Projektion ist eine Restklassenabbildung, also surjektiv, sodass es Elemente gibt, die auf geschickt werden: . Wir zeigen, dass ein solches Element eine Einheit in ist. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann ist nicht teilerfremd zu und zu , also ist es ein Vielfaches von , sagen wir . Dann gilt in die Beziehung

Das heißt, dass das Element nilpotent ist. Dann ist aber ebenfalls nilpotent, da ein Ringhomomorphismus nilpotente Elemente in nilpotente Elemente überführt. Dies bedeutet im Widerspruch dazu, dass eine Einheit ist.