Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}r\geq 1$. Dann ist der durch die kanonische Projektion

$\mathbb {Z} /(p^{r})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)$

induzierte Gruppenhomomorphismus

${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$

der Einheitengruppen surjektiv.

Beweis

Es sei ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ eine Einheit. Dann ist ${}a$ teilerfremd zu ${}p$ und damit kein Vielfaches von ${}p$. Wir fassen ${}a$ als Element in ${}\mathbb {Z} /(p^{r})$ auf. Da ${}a$ nach wie vor kein Vielfaches von ${}p$ ist, ist es auch in ${}\mathbb {Z} /(p^{r})$ eine Einheit, und zugleich ein Urbild von ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$.

$\Box$