Restklassenringe (Z)/Gleichwertige Funktion von kleinerem Grad/Aufgabe/Lösung

Wir führen im Polynomring $(\mathbb{Z}/(p))[X]$ die Division mit Rest von $f$ durch $X^p-X$ durch und erhalten

$f=(X^p-X)q+g.$

Dabei ist $g=0$ oder aber der Grad von $g$ ist $<p$ (das Nullpolynom habe jeden Grad). Setzt man links und rechts ein Element  $a\in \mathbb{Z}/(p)$  ein, so ist stets  $a^p=a$  nach dem kleinen Fermat, d.h. der linke Summand ist immer null und damit stimmen $f$ und $g$

an diesen Stellen überein.

Zur gelösten Aufgabe