Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-3/Kongruenzbedingung/Aufgabe/Lösung

Der Fall ${}p=3$ ist direkt erledigt, sodass wir nur die Fälle ${}p=1\mod 3$ und ${}p=2\mod 3$ betrachten müssen. Bei

{}p=1\mod 4\,

ist nach Fakt und Fakt

{}\left({\frac {-3}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)\left({\frac {-1}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)=\left({\frac {p}{3}}\right)\,,

also genau dann gleich ${}1$ , wenn ${}p$ den Rest ${}1$ modulo ${}3$ besitzt.

Bei

{}p=3\mod 4\,

ist aus den gleichen Gründen

{}\left({\frac {-3}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)\left({\frac {-1}{p}}\right)=-\left({\frac {3}{p}}\right)=\left({\frac {p}{3}}\right)\,

mit der gleichen Konsequenz.