Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist  ${\left(k^{\frac{p-1}{2}}\right)}^2=k^{p-1}=1$  nach Fakt. Daher ist

$k^{\frac{p-1}{2}}=\pm 1.$

Die Abbildung

${(\mathbb{Z}/(p))}^{\times }⟶\{\pm 1\},k⟼k^{\frac{p-1}{2}},$

ist (wie jedes Potenzieren) ein Gruppenhomomorphismus. Die Quadrate werden darunter auf $1$ abgebildet, da für  $k=x^2$  die Gleichheit

$k^{\frac{p-1}{2}}={\left(x^2\right)}^{\frac{p-1}{2}}=x^{p-1}=1$

gilt. Da nach Fakt die Einheitengruppe ${(\mathbb{Z}/(p))}^{\times }$ zyklisch ist, muss diese Abbildung surjektiv sein (sonst hätte jedes Element eine kleinere Ordnung). Damit muss diese Abbildung mit der durch das Legendre-Symbol gegebenen Abbildung übereinstimmen.

Zur bewiesenen Aussage