Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $s_i\in S_{+}$  durch die Bedingung

$ik={ϵ}_i{s}_{i}modp$

festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen $jk$,  $j\in S={(\mathbb{Z}/(p))}^{\times }$.  Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz $S$, da ja $k$ eine Einheit und daher die Multiplikation mit $k$ eine Bijektion ist. Es ist  $(-i)k=-ik=-{ϵ}_i{s}_i$  für  $i\in S_{+}=\{1,\dots ,t\}$.  Daher ist  $S_{+}=\{1,\dots ,t\}=\{s_1,\dots ,s_t\}$.  Deshalb gilt  $t!=\prod _{i=1}^t{s}_i$  und somit

$t!k^t=\left(\prod _{i=1}^{t}i\right)\left(\prod _{i=1}^{t}k\right)=\prod _{i=1}^{t}ik=\prod _{i=1}^t{ϵ}_i{s}_i=\left(\prod _{i=1}^t{ϵ}_i\right)\left(\prod _{i=1}^t{s}_i\right)=\left(\prod _{i=1}^t{ϵ}_i\right)t!modp.$

Durch Kürzen mit $t!$ (das ist eine Einheit) ergibt sich

$k^t=\prod _{i=1}^t{ϵ}_{i}modp,$

und das Euler-Kriterium, nämlich

$k^t=k^{\frac{p-1}{2}}=\left(\frac{k}{p}\right)modp,$

liefert das Ergebnis.

Zur bewiesenen Aussage