Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}s_{i}\in S_{+}$  durch die Bedingung

${}ik=\epsilon _{i}s_{i}\mod p\,$

festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen ${}jk$,  ${}j\in S={\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$.  Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz ${}S$, da ja ${}k$ eine Einheit und daher die Multiplikation mit ${}k$ eine Bijektion ist. Es ist  ${}(-i)k=-ik=-\epsilon _{i}s_{i}$  für  ${}i\in S_{+}=\{1,\ldots ,t\}$.  Daher ist  ${}S_{+}=\{1,\ldots ,t\}=\{s_{1},\ldots ,s_{t}\}$.  Deshalb gilt  ${}t!=\prod _{i=1}^{t}s_{i}$  und somit

${}t!k^{t}={\left(\prod _{i=1}^{t}i\right)}{\left(\prod _{i=1}^{t}k\right)}=\prod _{i=1}^{t}ik=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}s_{i}={\left(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\right)}{\left(\prod _{i=1}^{t}s_{i}\right)}={\left(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\right)}t!\mod p\,.$

Durch kürzen mit ${}t!$ (das ist eine Einheit) ergibt sich

${}k^{t}=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\mod p\,,$

und das Euler-Kriterium, nämlich

${}k^{t}=k^{\frac {p-1}{2}}=\left({\frac {k}{p}}\right)\mod p\,,$

liefert das Ergebnis.

Zur bewiesenen Aussage