Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Legendre ist multiplikativ/Fakt/Beweis

Beweis

Die Quadrate bilden offenbar eine Untergruppe in der Einheitengruppe ${}(\mathbb {Z} /(p))^{\times }$, die nach Fakt den Index ${}2$ besitzt. Daher ist

${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }/{\text{Quadrate}}\cong \mathbb {Z} /(2)\cong \{\pm 1\}\,$

und die Restklassenabbildung ist gerade die Abbildung auf das Legendre-Symbol.

Zur bewiesenen Aussage