Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Legendre ist multiplikativ/Fakt/Beweis

Beweis

Die Quadrate bilden offenbar eine Untergruppe in der Einheitengruppe ${(\mathbb{Z}/(p))}^{\times }$, die nach Fakt den Index $2$ besitzt. Daher ist

${(\mathbb{Z}/(p))}^{\times }/\text{Quadrate}\cong \mathbb{Z}/(2)\cong \{\pm 1\}$

und die Restklassenabbildung ist gerade die Abbildung auf das Legendre-Symbol.

Zur bewiesenen Aussage