Richtungsableitung/K/Summenzerlegung und Basis/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, sei  $G\subseteq V$  offen,  $P\in G$  ein Punkt und sei  $v\in V$  ein Vektor. Es sei

$\phi :G⟶W$

eine Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es sei $W$ der Produktraum

   $W=W_1\times \cdots \times W_k$

   aus endlichdimensionalen Vektorräumen $W_1,\dots ,W_k$. Dann ist $\phi$ genau dann in $P$ differenzierbar in Richtung $v$, wenn sämtliche Komponentenabbildungen

   ${\phi }_i:G⟶W_i$

   in $P$ in Richtung $v$ differenzierbar sind. In diesem Fall gilt

   $\left(D_v\phi \right)\left(P\right)=(\left(D_v{\phi }_1\right)\left(P\right),\dots ,\left(D_v{\phi }_k\right)\left(P\right))$

2. Es sei $w_1,\dots ,w_n$ eine Basis von $W$ mit den Koordinaten

   $y_j:W⟶𝕂.$

   Dann ist $\phi$ in $P$ in Richtung $v$ genau dann differenzierbar, wenn sämtliche Komponentenfunktionen

   $f_j=y_j\circ \phi :G⟶𝕂$

   in $P$ in Richtung $v$ differenzierbar sind. In diesem Fall ist

   $\left(D_v\phi \right)\left(P\right)=(\left(D_v{f}_1\right)\left(P\right),\dots ,\left(D_v{f}_n\right)\left(P\right))=w_1\left(D_v{f}_1\right)\left(P\right)+\cdots +w_n\left(D_v{f}_n\right)\left(P\right).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen