Richtungsableitung/R/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $ℝ$-Vektorräume, sei  $G\subseteq V$  offen,  $P\in G$  ein Punkt,  $v\in V$  ein Vektor und seien

$f,g:G⟶W$

Abbildungen, die im Punkt $P$ in Richtung $v$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Summe $f+g$ ist ebenfalls differenzierbar in Richtung $v$ mit

   $(D_v(f+g))\left(P\right)=\left(D_{v}f\right)\left(P\right)+\left(D_{v}g\right)\left(P\right).$

2. Das Produkt $af$ mit  $a\in ℝ$  ist ebenfalls differenzierbar in Richtung $v$ mit

   $(D_v(af))\left(P\right)=a\left(D_{v}f\right)\left(P\right).$

3. Die Funktion $f$ ist auch in Richtung $cv$ mit $c\in ℝ$ differenzierbar und es gilt

   $\left(D_{cv}f\right)\left(P\right)=c\left(D_{v}f\right)\left(P\right).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen