Es seien
und
endlichdimensionale
-Vektorräume,
sei
offen,
ein Punkt und sei
ein Vektor. Es sei
-
eine Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es sei
der
Produktraum
-
![{\displaystyle {}W=W_{1}\times \cdots \times W_{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b19deac2579b5f9fa2e29f56ba26db29382e182)
aus endlichdimensionalen Vektorräumen
. Dann ist
genau dann in
differenzierbar in Richtung
, wenn sämtliche Komponentenabbildungen
-
in
in Richtung
differenzierbar sind. In diesem Fall gilt
-
![{\displaystyle {}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}=({\left(D_{v}\varphi _{1}\right)}{\left(P\right)},\ldots ,{\left(D_{v}\varphi _{k}\right)}{\left(P\right)})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f77ddf36362b3c35fa5eec9dd0e135bafba565)
- Es sei
eine
Basis
von
mit den
Koordinaten
-
Dann ist
in
in Richtung
genau dann differenzierbar, wenn sämtliche Komponentenfunktionen
-
in
in Richtung
differenzierbar sind. In diesem Fall ist
-
![{\displaystyle {}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left({\left(D_{v}f_{1}\right)}{\left(P\right)},\ldots ,{\left(D_{v}f_{n}\right)}{\left(P\right)}\right)}=w_{1}{\left(D_{v}f_{1}\right)}{\left(P\right)}+\cdots +w_{n}{\left(D_{v}f_{n}\right)}{\left(P\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a94b9fd38a04c4c74764418da24c0f9ffdc177)