Richtungsableitungen/Multiindexschreibweise/Notation/Textabschnitt

Zu einem Vektor ${}x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ und einem Tupel ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ aus natürlichen Zahlen setzt man abkürzend

${}x^{r}:=x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\,.$

Entsprechend schreibt man für eine Polynomfunktion abkürzend

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}a_{(r_{1},\ldots ,r_{n})}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}=\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n}}a_{r}x^{r}\,.$

Die gleiche Abkürzungsphilosophie übernimmt man für Richtungsableitungen. Wenn ${}V$ ein ${}\mathbb {R}$-Vektorraum mit einer Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ ist, so setzt man ${}D_{i}:=D_{w_{i}}$, und für ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ setzt man

${}D^{r}:=D_{1}^{r_{1}}\circ D_{2}^{r_{2}}\circ \cdots \circ D_{n}^{r_{n}}\,.$

Diese Bezeichnung verwendet man insbesondere im ${}\mathbb {R} ^{n}$, versehen mit der Standardbasis und den partiellen Ableitungen. Man beachte, dass man aufgrund des Satzes von Schwarz unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen sämtliche Reihenfolgen von Richtungsableitungen in dieser Weise ausdrücken kann. Des weiteren definieren wir für ein Tupel ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ die Fakultät durch

${}r!:=r_{1}!\cdots r_{n}!\,$

und bei ${}\sum _{j=1}^{n}r_{j}=k$ die Multinomialkoeffizienten (oder Polynomialkoeffizienten) durch

${}{\binom {k}{r}}:={\frac {k!}{r!}}={\frac {{k}!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{n}!}}\,.$