Riemann-integrierbar/Äquidistante Konvergenz/Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei

$s_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

diejenige untere Treppenfunktion zu ${}f$ zur äquidistanten Unterteilung in ${}n$ gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall

$I_{j}=[a+{\frac {(j-1)(b-a)}{n}},a+{\frac {j(b-a)}{n}}[,\,j=1,\ldots ,n,$

(für ${}j=n$ sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von ${}f(x)$, ${}x\in I_{j}$,

annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu ${}s_{n}$ gegen ${}\int _{a}^{b}f(x)dx$ konvergiert.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen