Riemann-integrierbar/Äquidistante Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}c=\int _{a}^{b}f(x)dx$. Es gibt eine Folge von unteren Treppenfunktionen ${}u_{n}$ derart, dass die zugehörige Folge der Treppenintegrale gegen ${}c$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass dies auch für die Treppenintegrale zu den ${}s_{n}$ gilt. Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der zuerst erwähnten Konvergenz gibt es zu ${}{\frac {\epsilon }{2}}$ ein ${}k$ derart, dass für alle ${}n\geq k$ die Abschätzung

${}c-\int _{a}^{b}u_{n}(x)dx\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

gilt. Wir vergleichen die Treppenintegrale zu ${}s_{n}$ mit dem Treppenintegral zu ${}u_{k}$. Es sei ${}m$ die Anzahl der Unterteilungspunkte von ${}u_{k}$ und es sei ${}d\in \mathbb {R} _{+}$ eine absolute Schranke für ${}f$. Insbesondere ist

${}u_{k}\leq d\,$

und

${}s_{n}\geq -d\,.$

Wir wählen ${}n_{0}$ so, dass

${}{\frac {b-a}{n_{0}}}md\leq {\frac {\epsilon }{4}}\,$

ist. Es sei ${}n\geq n_{0}$ fixiert. Von den ${}n$ Teilintervallen gibt es maximal ${}m$ Stück, in denen ein Unterteilungspunkt zu ${}u_{k}$ liegt. Es sei ${}J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ die Indexmenge dieser Teilintervalle. Auf einem Intervall ${}I_{j}$ mit ${}j\not \in J$ ist ${}u_{k}$ konstant und es gilt dort

${}u_{k}\leq s_{n}\leq f\,$

und entsprechend

${}\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx\leq \int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\leq \int _{I_{j}}f(x)dx\,.$

Auf einem Intervall ${}I_{j}$ mit ${}j\in J$ ist

${}\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx\leq d{\frac {b-a}{n}}\,$

und

${}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\geq -d{\frac {b-a}{n}}\,.$

Insgesamt ergibt sich

${}{\begin{aligned}c-\int _{a}^{b}s_{n}(x)dx&=c-\sum _{j=1}^{n}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&=c-\sum _{j\not \in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx-\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&\leq c-\sum _{j\not \in J}\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx-\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&=c-\int _{a}^{b}u_{k}(x)dx+\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx-\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+dm{\frac {b-a}{n}}+dm{\frac {b-a}{n}}\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{4}}+{\frac {\epsilon }{4}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe