Riemann-integrierbar/Äquidistante Konvergenz/Aufgabe/Lösung

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Es sei . Es gibt eine Folge von unteren Treppenfunktionen derart, dass die zugehörige Folge der Treppenintegrale gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass dies auch für die Treppenintegrale zu den gilt. Sei vorgegeben. Aufgrund der zuerst erwähnten Konvergenz gibt es zu ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Wir vergleichen die Treppenintegrale zu mit dem Treppenintegral zu . Es sei die Anzahl der Unterteilungspunkte von und es sei eine absolute Schranke für . Insbesondere ist

und

Wir wählen so, dass

ist. Sei fixiert. Von den Teilintervallen gibt es maximal Stück, in denen ein Unterteilungspunkt zu liegt. Es sei die Indexmenge dieser Teilintervalle. Auf einem Intervall mit ist konstant und es gilt dort

und entsprechend

Auf einem Intervall mit ist

und

Insgesamt ergibt sich

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