Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Für (1) bis (4) siehe Aufgabe. (5). Wir betrachten die Aussage für das Maximum. Wir müssen zeigen, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine obere und eine untere Treppenfunktion derart gibt, dass die Differenz der beiden Treppenintegrale ${}\leq \epsilon$ ist. Es sei also ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit gibt es Treppenfunktionen

$s_{1}{\text{ und }}t_{1}{\text{ mit }}s_{1}\leq f\leq t_{1}{\text{ und mit }}\int _{a}^{b}(t_{1}-s_{1})(x)\,dx\leq \epsilon /2$

und

$s_{2}{\text{ und }}t_{2}{\text{ mit }}s_{2}\leq g\leq t_{2}{\text{ und mit }}\int _{a}^{b}(t_{2}-s_{2})(x)\,dx\leq \epsilon /2.$

Wir können annehmen, dass diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei ${}\ell _{k}$, ${}k=1,\ldots ,n$ die Länge des ${}k$-ten Teilintervalls ${}I_{k}$ und es sei

${}\delta _{k}:=(t_{1}-s_{1}){|}_{I_{k}}+(t_{2}-s_{2}){|}_{I_{k}}\,.$

Dann gilt

${}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}\delta _{k}&=\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}{\left((t_{1}-s_{1}){|}_{I_{k}}+(t_{2}-s_{2}){|}_{I_{k}}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}(t_{1}-s_{1}){|}_{I_{k}}+\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}(t_{2}-s_{2}){|}_{I_{k}}\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Wir setzen

$s:={\max {\left(s_{1},s_{2}\right)}}\,\,{\text{ und }}\,\,t:={\max {\left(t_{1},t_{2}\right)}}.$

Dies ist offenbar eine untere bzw. obere Treppenfunktionen für ${}{\max {\left(f,g\right)}}$. Wir betrachten ein Teilintervall ${}I_{k}$ der gegebenen Unterteilung. Wenn dort

$s_{1}\leq s_{2}{\text{ und }}t_{1}\leq t_{2}$

gilt, so ist dort

${}t-s=t_{2}-s_{2}\leq \delta _{k}\,.$

Wenn dort

$s_{1}\leq s_{2}{\text{ und }}t_{2}\leq t_{1}$

gilt, so ist dort ebenfalls

${}t-s=t_{1}-s_{2}\leq t_{1}-s_{1}\leq \delta _{k}\,.$

 Dies gilt auch in den beiden anderen Fällen.

Damit ist die Differenz der Treppenintegrale ${}\leq \sum _{k=1}^{n}\ell _{k}\delta _{k}\leq \epsilon$.
(6) folgt direkt aus (5). Für (7) siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage