Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Ist ${}m\leq f(x)\leq M$ für alle ${}x\in I$, so ist ${}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)$.
2. Ist ${}f(x)\leq g(x)$ für alle ${}x\in I$, so ist ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
3. Die Summe ${}f+g$ ist Riemann-integrierbar und es ist ${}\int _{a}^{b}(f+g)(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt+\int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
4. Für ${}c\in \mathbb {R}$ ist ${}\int _{a}^{b}(cf)(t)\,dt=c\int _{a}^{b}f(t)\,dt$.
5. Die Funktionen ${}{\max {\left(f,g\right)}}$ und ${}{\min {\left(f,g\right)}}$ sind Riemann-integrierbar.
6. Die Funktion ${}\vert {f}\vert$ ist Riemann-integrierbar.
7. Das Produkt ${}fg$ ist Riemann-integrierbar.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen