Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Maximum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Wir müssen zeigen, dass es zu jedem eine obere und eine untere Treppenfunktion gibt derart, dass die Differenz der beiden Treppenintegrale ist. Sei also ein vorgegeben. Aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit gibt es Treppenfunktionen

und

Wir können annehmen, dass diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei , die Länge des -ten Teilintervalls und es sei

Dann gilt

Wir setzen

Dies ist offenbar eine untere bzw. obere Treppenfunktionen für . Wir betrachten ein Teilintervall der gegebenen Unterteilung. Wenn dort

gilt, so ist dort

Wenn dort

gilt, so ist dort ebenfalls

 Dies gilt auch in den beiden anderen Fällen.


Damit ist die Differenz der Treppenintegrale .