Wir müssen zeigen, dass es zu jedem
eine obere und eine untere Treppenfunktion gibt derart, dass die Differenz der beiden Treppenintegrale
ist. Sei also ein
vorgegeben. Aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit gibt es
Treppenfunktionen
-
und
-
Wir können annehmen, dass diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei
,
die Länge des
-ten Teilintervalls
und es sei
-

Dann gilt

Wir setzen
-
Dies ist offenbar eine untere bzw. obere Treppenfunktionen für
. Wir betrachten ein Teilintervall
der gegebenen Unterteilung.
Wenn dort
-
gilt, so ist dort
-

Wenn dort
-
gilt, so ist dort ebenfalls
-

Dies gilt auch in den beiden anderen Fällen.
Damit ist die Differenz der Treppenintegrale

.