Wir müssen zeigen, dass es zu jedem
eine obere und eine untere Treppenfunktion gibt derart, dass die Differenz der beiden Treppenintegrale ist. Es sei also ein
vorgegeben. Aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit gibt es
Treppenfunktionen
-
und
-
Wir können annehmen, dass diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei
,
die Länge des -ten Teilintervalls und es sei
-
Dann gilt
Wir setzen
-
Dies ist offenbar eine untere bzw. obere Treppenfunktionen für . Wir betrachten ein Teilintervall der gegebenen Unterteilung.
Wenn dort
-
gilt, so ist dort
-
Wenn dort
-
gilt, so ist dort ebenfalls
-
Dies gilt auch in den beiden anderen Fällen.
Damit ist die Differenz der Treppenintegrale
.