Riemannsche Fläche/Ableitungsoperator/Regeln/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass der Ableitungsoperator

$d\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,f\longmapsto df,$

folgende Eigenschaften erfüllt.

1. Es ist ${}d(f+g)=df+dg$.
2. Es ist ${}daf=adf$ für ${}a\in {\mathbb {C} }$.
3. Es gilt die Produktregel

   ${}dfg=fdg+gdf\,.$

4. Für ${}f$ nullstellenfrei ist

   ${}df^{-1}=-{\frac {1}{f^{2}}}df\,.$

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