Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine holomorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche $X$ ist ein holomorpher Schnitt im Kotangentialbündel $T^{\ast }X$.

Eine holomorphe Differentialform $\omega$ ordnet also jedem Punkt  $P\in X$  einen Vektor $\omega (P)$ im Kotangentialraum $T_P^{\ast }X$ zu, also eine komplexwertige Linearform auf dem Tangentialraum $T_{P}X$. Wenn  $v\in T_{P}X$  ein Tangentialvektor ist, so versteht man unter $\omega (P,v)$ diejenige komplexe Zahl, die sich ergibt, wenn man die Linearform $\omega (P)$ auf den Vektor $v$ anwendet. Wir beschreiben zuerst die holomorphen Differentialformen auf einer offenen Menge von $ℂ$, was dann auch die lokale Beschreibung für die holomorphen Differentialformen auf einer beliebigen riemannschen Fläche ergibt.

Lemma

1. Auf einer offenen Teilmenge  $U\subseteq ℂ$  besitzt jede holomorphe Differentialform $\omega$ eine eindeutige Darstellung  $\omega =fdz$  mit einer holomorphen Funktion $f$.
2. Zu einer holomorphen Funktion $f$ ist

   $df=f^{\prime }dz$

   eine holomorphe Differentialform.

Beweis

1. Den Tangentialbündel zu $U$ können wir mit $U\times ℂ$ und das Kotangentialbündel können wir entsprechend mit

   $U\times {\mathrm{Hom}}_{ℂ}(ℂ,ℂ)\cong U\times ℂ$

   identifizieren. Die Differentialform $dz$ ist diejenige Differentialform, die jedem Punkt die Identität zuordnet, was der konstanten $1$ bei der natürlichen Identifizierung entspricht. Jeder Schnitt im Kotangentialbündel kann man daher eindeutig als $fdz$ schreiben. Dabei liegt genau dann ein holomorpher Schnitt und damit eine holomorphe Differentialform vor, wenn $f$ eine holomorphe Funktion ist.

2. Die Gleichung  $df=f^{\prime }dz$  folgt mit Fakt  (1) aus

   $(df{)}_P=T_{P}f={\left(Df\right)}_P=f^{\prime }(P)\cdot {\mathrm{Id}}_{ℂ}=f^{\prime }(P)dz.$

   Die Holomorphie von $f^{\prime }$ folgt aus (1) und Fakt.

$◻$

Lemma

Auf einer riemannschen Fläche $X$

gelten die folgenden Aussagen.

1. Die Summe ${\omega }_1+{\omega }_2$ von holomorphen Differentialformen ${\omega }_1$ und ${\omega }_2$ ist wieder eine holomorphe Differentialform.
2. Zu einer holomorphen Funktion $f$ ist $df$ ist eine holomorphe Differentialform.
3. Zu einer holomorphen Funktion $f$ und einer holomorphen Funktion ist auch $f\omega$ eine holomorphe Differentialform.

Beweis

Sowohl die Eigenschaft, ein Schnitt im Kotangentialbündel zu sein als auch die Eigenschaft, holomorph zu sein, sind lokal. Ebenso sind die in den Aussagen vorkommenden Operationen lokal. Daher folgen die Aussagen aus Fakt.

$◻$

Eine holomorphe Differentialform $\omega$ auf einer riemannschen Fläche wird häufig in der Form $U_i,f_{i}d{z}_i$ gegeben, wobei  $U=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eine offene Überdeckung mit Kartengebieten, $z_i$ ein lokaler Parameter und $f_i$ eine holomorphe Funktion auf $U_i$ ist, wobei die $f_{i}d{z}_i$ auf den Kartenüberlappungen zusammenpassen müssen.

Lemma

Auf einer riemannschen Fläche $X$ bilden die holomorphen Differentialformen

eine Garbe von kommutativen Gruppen.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Die Garbe der holomorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche $X$ wird mit ${\mathrm{\Omega }}_X$ bezeichnet. Es ist also $\mathrm{\Gamma }(U,{\mathrm{\Omega }}_X)$ der Vektorraum aller holomorphen Differentialformen auf $U$ und speziell $\mathrm{\Gamma }(X,{\mathrm{\Omega }}_X)$ der Vektorraum der globalen holomorphen Differentialformen. Insbesondere für kompakte riemannschen Flächen ist es eine wichtige Frage, wie viele globale holomorphe Differentialformen es gibt. Es handelt sich im kompakten Fall um einen endlichdimensionalen Vektorraum, dessen Dimension auch das differentielle Geschlecht der riemannschen Fläche heißt, siehe hierzu Fakt, Fakt, Bemerkung und vor allem Fakt, Fakt und Fakt.

Man nennt die holomorphe Differentialform $df$ auch die Ableitung zu $f$ und ebenso nennt man die Abbildung

$d:\Gamma (X,{𝒪}_X)⟶\Gamma (X,{\Omega }_X),f⟼df,$

Ableitung oder den Ableitungsoperator. Man beachte, dass es keine Ableitung in dem Sinne gibt, dass einer holomorphen Funktion wieder eine holomorphe Funktion zugeordnet wird. Dies lässt sich zwar lokal definieren, passt aber global nicht zusammen. Um einen sinnvollen Ableitungsprozess zu bekommen, muss man die Ableitung als eine Differentialform verstehen.

Lemma

Auf einer riemannschen Fläche $X$

liegt die kurze exakte Garbensequenz

$0\stackrel{}{⟶}ℂ\stackrel{}{⟶}{𝒪}_X\stackrel{d}{⟶}{\Omega }_X\stackrel{}{⟶}0$

vor, wobei $ℂ$ hier die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in $ℂ$ bezeichnet.

Beweis

Dies ist eine lokale Aussage, die auf einer Kreisscheibe aus den entsprechenden Aussagen der Funktionentheorie folgt: Eine holomorphe Funktion ist genau dann konstant, wenn ihre Ableitung gleich $0$ ist, und eine holomorphe Differentialform besitzt auf einer Kreisscheibe eine Stammfunktion, da man zu einer Potenzreihe direkt eine Stammreihe angeben kann, die den gleichen Konvergenzradius besitzt.

$◻$

Im Allgemeinen ist die globale Auswertung

$d:\Gamma (X,{𝒪}_X)⟶\Gamma (X,{\Omega }_X),f⟼df,$

nicht surjektiv. Wenn eine holomorphe Differentialform $\omega$ von der Form $df$ ist, so heißt $f$ eine Stammfunktion der Form. Die Surjektivität der globalen Auswertung ist also äquivalent dazu, dass jede holomorphe Differentialform eine Stammfunktion besitzt. Siehe u. A. Aufgabe und Aufgabe.

Lemma

Auf der riemannschen Sphäre  $S^2\cong {\mathbb{P}}_{ℂ}^1$ 

ist die Nullform die einzige globale holomorphe Differentialform.

Beweis

Die Projektive Gerade ist nach Beispiel bzw. Fakt die Verklebung von den beiden komplexen Zahlebenen $ℂ,z$ und $ℂ,w$ entlang der Identifizierung  $z=w^{-1}$  auf ${ℂ}^{\times }$. Nach Fakt ist eine holomorphe Differentialform auf dem ersten $ℂ$ gleich $f(z)dz$ mit einer holomorphen Funktion $f$ auf $ℂ$. Diese kann man in $w$ wegen Aufgabe auf ${ℂ}^{\times }$ als

$f(z)dz=f(w^{-1})d{w}^{-1}=-f(w^{-1})\frac{1}{w^2}dw$

schreiben. Dabei ist außer bei  $f=0$  die beschreibende Funktion in $w$ sicher nicht holomorph auf $ℂ$.

$◻$

Lemma

Es sei  $f\in ℂ[Z]$  ein Polynom vom Grad $m$ ohne mehrfache Nullstelle und sei  $V=\{(z,w)\mid w^2=f(z)\}\subseteq {ℂ}^2$  die zugehörige riemannsche Wurzelfläche.

Dann sind $\frac{z^{j}dz}{w}$ für  $j=0,\dots ,\lfloor \frac{m-3}{2}\rfloor$  holomorphe Differentialformen auf $V$.

Beweis

Aus  $w^2=f(z)$  ergibt sich die algebraische Relation  $2wdw=f^{\prime }(z)dz$.  Daher ist

$\frac{z^j}{w}dz=\frac{2z^j}{f^{\prime }(z)}dw$

und da $w$ und $f^{\prime }(z)$ keine gemeinsame Nullstelle haben, ist eine solche Differentialform überall definiert.

$◻$

Dieses Argument würde auch bei allgemeiner angesetzten Differentialformen durchgehen, allerdings bilden die angegebenen Formen auf dem projektiven Abschluss schon eine Basis.