Riemannsche Fläche/Ausbreitungsraum/Hausdorff/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}X$ die riemannsche Fläche und ${}p\colon E\rightarrow X$ der Ausbreitungsraum zur Strukturgarbe. Seien ${}(x,f),(y,g)\in E$ verschiedene Punkte. Bei ${}x\neq y$ kann man direkt die Urbilder von trennenden offenen Mengen von ${}X$ nehmen. Es sei also ${}x=y$ und seien also ${}f,g\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ verschiedene Keime. Diese seien repräsentiert durch verschiedene holomorphe Funktionen

$f,g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

auf einer offenen zusammenhängenden Umgebung von ${}x$. Dann sind nach dem Identitätssatz in der Form Fakt  (3) auch die Keime von ${}f$ und ${}g$ in jedem Punkt ${}y\in U$ verschieden. Daher sind ${}(U,f)$ und ${}(U,g)$ trennende offene Umgebungen.

Zur bewiesenen Aussage