Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Ringstruktur/Garbeneigenschaft/Fakt

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu offenen Mengen  ${}V\subseteq U$  von ${}X$ und einer holomorphen Funktion

   $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   ist die Einschränkung ${}f{|}_{V}$ eine holomorphe Funktion auf ${}V$.

2. Zu offenen Mengen  ${}V\subseteq U$  ist die Einschränkungsabbildung

   $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f{|}_{V},$

   ein ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus.

3. Zu offenen Mengen  ${}V\subseteq U$  mit ${}U$ zusammenhängend und  ${}V\neq \emptyset$  ist die Einschränkungsabbildung

   $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f{|}_{V}$

   injektiv.

4. Es sei ${}U$ eine offene Menge und  ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  eine offene Überdeckung und seien holomorphe Funktionen  ${}f,g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$  mit

   ${}f{|}_{U_{i}}=g{|}_{U_{i}}\,$

   für alle ${}i$ gegeben. Dann ist  ${}f=g$. 

5. Es sei ${}U$ eine offene Menge und  ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  eine offene Überdeckung und seien holomorphe Funktionen  ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$  mit

   ${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=f_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

   für alle ${}i,j$ gegeben. Dann gibt es eine holomorphe Funktion  ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$  mit

   ${}f{|}_{U_{i}}=f_{i}\,$

   alle ${}i$.

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