Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen und sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine holomorphe Abbildung. Zeige, dass dies einen ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus

$\Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

induziert. Zeige ferner, dass für offene Teilmengen ${}V\subseteq V'\subseteq Y$ ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma (V',{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V'),{\mathcal {O}}_{X})&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt, wobei die vertikalen Abbildungen Einschränkungshomomorphismen sind.

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