Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Hauptdivisor/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}x\in X$ fixiert und ${}y=\varphi (x)$ der Bildpunkt. Die Ordnung des zurückgezogenen Divisors ${}\varphi ^{*}D$ in ${}x$ ist nach Definition gleich ${}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}n_{y}$, wobei ${}n_{y}$ die Ordnung von ${}D$ in ${}y$ ist, also die Ordnung ${}k$ der meromorphen Funktion ${}f$ auf ${}Y$ in ${}y$. Mit einem lokalen Parameter ${}z$ um ${}y$, mit dessen Hilfe ja die Verzweigungsordnung von ${}\varphi$ definiert wird, kann man in einer offenen Umgebung von ${}y$

${}f=uz^{k}\,$

mit einer holomorphen Einheit ${}u$ schreiben. Dann ist die Ordnung von ${}f\circ \varphi$ in ${}x$ gleich

${}{\begin{aligned}\operatorname {ord} _{x}(f\circ \varphi )&=\operatorname {ord} _{x}(uz^{k}\circ \varphi )\\&=\operatorname {ord} _{x}((u\circ \varphi )(z\circ \varphi )^{k})\\&=\operatorname {ord} _{x}((z\circ \varphi )^{k})\\&=k\operatorname {ord} _{x}(z\circ \varphi )\\&=k\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage