Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Nullstellen/Diskret/Fakt/Beweis

Beweis

Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es einen Punkt ${}x\in X$ der Nullstelle derart, dass es in jeder offenen Umgebung von ${}x$ unendliche viele Punkte der Nullstellenmenge gibt. Es sei ${}x\in U$ eine Kartenumgebung und

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }$

die Kartenabbildung. Nach Fakt ist dann ${}f{|}_{U}\circ \alpha ^{-1}$ die Nullfunktion. Wir zeigen, dass dann ${}f$ überhaupt die Nullfunktion ist im Widerspruch zur Voraussetzung. Sei ${}y\in X$ ein weiterer Punkt und sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger Weg, der ${}x$ mit ${}y$ verbindet. Es seien ${}U_{1}=U,U_{2},\ldots ,U_{n}$ offene zusammenhängende Kartenumgebungen, die das (kompakte) Bild dieses Weges überdecken und die ${}U_{i}\cap U_{i+1}\neq \emptyset$ erfüllen. Dann ist, wie eben bemerkt, ${}f{|}_{U_{1}}=0$. Da die holomorphe Funktion ${}f{|}_{U_{2}}\circ \alpha _{2}^{-1}$ auf ${}V_{2}$ holomorph ist, und auf ${}\alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$ die Nullfunktion ist, folgt, wieder mit Fakt, dass ${}f{|}_{U_{2}}\circ \alpha _{2}^{-1}$ und damit auch ${}f{|}_{U_{2}}$ die Nullfunktion ist. Induktiv fortfahrend ergibt sich, dass ${}f{|}_{U_{i}}$ für alle ${}i$ die Nullfunktion ist und dass insbesondere ${}f(y)=0$ ist.

Zur bewiesenen Aussage