Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Nullstellen/Diskret/Fakt/Beweis

Beweis

Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es einen Punkt  $x\in X$  der Nullstelle derart, dass es in jeder offenen Umgebung von $x$ unendliche viele Punkte der Nullstellenmenge gibt. Es sei  $x\in U$  eine Kartenumgebung und

$\alpha :U⟶V\subseteq ℂ$

die Kartenabbildung. Nach Fakt ist dann $f{|}_U\circ {\alpha }^{-1}$ die Nullfunktion. Wir zeigen, dass dann $f$ überhaupt die Nullfunktion ist im Widerspruch zur Voraussetzung. Sei  $y\in X$  ein weiterer Punkt und sei

$\gamma :[0,1]⟶X$

ein stetiger Weg, der $x$ mit $y$ verbindet. Es seien $U_1=U,U_2,\dots ,U_n$ offene zusammenhängende Kartenumgebungen, die das (kompakte) Bild dieses Weges überdecken und die  $U_i\cap U_{i+1}\ne \mathrm{\varnothing }$  erfüllen. Dann ist, wie eben bemerkt,  $f{|}_{U_1}=0$.  Da die holomorphe Funktion $f{|}_{U_2}\circ {\alpha }_2^{-1}$ auf $V_2$ holomorph ist, und auf ${\alpha }_2(U_1\cap U_2)$ die Nullfunktion ist, folgt, wieder mit Fakt, dass $f{|}_{U_2}\circ {\alpha }_2^{-1}$ und damit auch $f{|}_{U_2}$ die Nullfunktion ist. Induktiv fortfahrend ergibt sich, dass $f{|}_{U_i}$ für alle $i$ die Nullfunktion ist und dass insbesondere  $f(y)=0$  ist.

Zur bewiesenen Aussage