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Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Nullstellen/Diskret/Fakt/Beweis

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Beweis

Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es einen Punkt der Nullstelle derart, dass es in jeder offenen Umgebung von unendliche viele Punkte der Nullstellenmenge gibt. Es sei eine Kartenumgebung und

die Kartenabbildung. Nach Fakt ist dann die Nullfunktion. Wir zeigen, dass dann überhaupt die Nullfunktion ist im Widerspruch zur Voraussetzung. Sei ein weiterer Punkt und sei

ein stetiger Weg, der mit verbindet. Es seien offene zusammenhängende Kartenumgebungen, die das (kompakte) Bild dieses Weges überdecken und die erfüllen. Dann ist, wie eben bemerkt, . Da die holomorphe Funktion auf holomorph ist, und auf die Nullfunktion ist, folgt, wieder mit Fakt, dass und damit auch die Nullfunktion ist. Induktiv fortfahrend ergibt sich, dass für alle die Nullfunktion ist und dass insbesondere ist.