Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionen/Prägarbe/Halm/Konvergente Potenzreihen/Fakt/Beweis

Beweis

Zu ${}P\in X$ gibt es ein Kartengebiet ${}P\in U$ und eine Kartenabbildung ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ mit ${}V\subseteq {\mathbb {C} }$. Diese induziert für jede offene Menge ${}U'\subseteq U$ einen ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus

$\Gamma {\left(\alpha (U'),{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U',{\mathcal {O}}_{X}\right)},\,h\longmapsto h\circ \alpha ,$

und diese kommutieren mit den Restriktionsabbildungen. Somit erhält man auch einen Isomorphismus zwischen dem Halm von ${}{\mathcal {O}}_{X}$ in ${}P$ und dem Halm von ${}{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }$ in ${}\alpha (P)$. Eine holomorphe Funktion, die in einer offenen Umgebung

${}Q\in V\subseteq {\mathbb {C} }\,$

definiert ist, besitzt eine Potenzreihenentwicklung im Punkt ${}Q$ mit einem positiven Konvergenzradius. Umgekehrt definiert eine konvergente Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius eine holomorphe Funktion. Diese Korrespondenz ist bijektiv.

Zur bewiesenen Aussage