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Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionen/Prägarbe/Halm/Konvergente Potenzreihen/Fakt/Beweis

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Beweis

Zu gibt es ein Kartengebiet und eine Kartenabbildung mit . Diese induziert für jede offene Menge einen -Algebraisomorphismus

und diese kommutieren mit den Restriktionsabbildungen. Somit erhält man auch einen Isomorphismus zwischen dem Halm von in und dem Halm von in . Eine holomorphe Funktion, die in einer offenen Umgebung

definiert ist, besitzt eine Potenzreihenentwicklung im Punkt mit einem positiven Konvergenzradius. Umgekehrt definiert eine konvergente Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius eine holomorphe Funktion. Diese Korrespondenz ist bijektiv.