Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Divisor/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}_{X}$ eine invertierbare Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen. Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit ${}U_{i}$ zusammenhängend und lokalen Trivialisierungen

${\mathcal {O}}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {L}}_{U_{i}}.$

Dabei wird ${}1$ auf ein Element ${}f_{i}\in {\mathcal {L}}{\left(U_{i}\right)}$ abgebildet, das die Abbildung festlegt. Dabei gilt

${}f_{i}{\mathcal {O}}_{U_{i}}={\mathcal {L}}_{U_{i}}\,.$

d.h. ${}{\mathcal {L}}_{U_{i}}$ wird als Untermodul von der meromorphen Funktion ${}f_{i}$ erzeugt. Es sei

${}D_{i}=\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}\,$

der Hauptdivisor zu ${}f_{i}$ auf ${}U_{i}$. Auf ${}U_{i}$ gilt ${}{\mathcal {L}}_{U_{i}}\cong {\mathcal {L}}_{D_{i}}$. Es ist noch zu zeigen, dass die Divisoren ${}D_{i}$ zusammen einen Divisor auf ganz ${}X$ definieren. Dazu müssen wir zeigen, dass zu ${}i,j$ die Einschränkungen von ${}D_{i}$ und von ${}D_{j}$ auf ${}U_{i}\cap U_{j}$ übereinstimmen. Nach Konstruktion der ${}f_{i}$ erzeugen sowohl ${}f_{i}$ als auch ${}f_{j}$ den Untermodul ${}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$ erzeugen. Daher ist

${}f_{i}=hf_{j}\,$

mit einer holomorphen Einheit ${}h$ auf ${}U_{i}\cap U_{j}$. Daher stimmen die Hauptdivisoren ${}\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}$ und ${}\operatorname {div} {\left(f_{j}\right)}$

auf ${}U_{i}\cap U_{j}$ überein.

Zur gelösten Aufgabe