Riemannsche Fläche/Invertierbare Garben/Schnitt und Tensorierung/Duale Version/Fakt/Beweis

Beweis

Der Schnitt führt zu einem injektiven Garbenhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {L}}$ und durch Tensorierung zu einem injektiven Homomorphismus ${}{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {L}}$. Nach Fakt ist

$H^{1}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {L}})$

surjektiv und daher ist die duale Abbildung injektiv.

Zur bewiesenen Aussage