Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktionen/Hauptteile/Exakte Sequenz/Fakt/Beweis

Beweis

Bei der Abbildung rechts wird natürlich einer meromorphen Funktion auf ${}U\subseteq X$ ihre Hauptteilverteilung zugeordnet. Dabei gehen holomorphe Funktionen auf ${}0$. Es ist also lediglich zu zeigen, dass die Quotientengarbe ${}{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}$ unter dieser induzierten Zuordnung zur Garbe der Hauptteilverteilungen isomorph ist. Eine meromorphe Funktion, deren Hauptteilverteilung ${}0$ ist, besitzt keinen Pol und ist daher holomorph, was die Injektivität sichert. Die Surjektivität (im Garbensinn) kann man punktweise testen und beruht darauf, dass jeder Hauptteil in einem Punkt in einer geeigneten Kreisscheibe durch eine meromorphe Funktion auf der Kreisscheibe repräsentiert wird.

Zur bewiesenen Aussage