Riemannsche Fläche/Partition der Eins/Höhere Strukturkohomologie/Bemerkung

Mit Partitionen der Eins kann man auch zeigen, dass für die Garben der $C^{\mathrm{\infty }}$-Funktionen und der $C^{\mathrm{\infty }}$-Differentialformen vom Grad $d$ auf einer reellen $C^{\mathrm{\infty }}$-Mannigfaltigkeit $M$ alle höheren Kohomologien gleich $0$ sind. Für eine riemannsche Fläche folgt daher aus Fakt mit den Ausschnitten (für  $i\ge 2$ )

$H^{i-1}(X,ℰ)=0\stackrel{\delta }{⟶}{H}^i(X,{𝒪}_X)⟶H^{i+1}(X,{ℰ}^{(0,1)})=0$

aus der langen Kohomologiesequenz sofort

$H^i(X,{𝒪}_X)=0$

für  $i\ge 2$.  Für höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten sind auch höhere Kohomologien der Strukturgarbe wichtig.