Riemannsche Fläche/Partition der Eins/Höhere Strukturkohomologie/Bemerkung

Mit Partitionen der Eins kann man auch zeigen, dass für die Garben der ${}C^{\infty }$-Funktionen und der ${}C^{\infty }$-Differentialformen vom Grad ${}d$ auf einer reellen ${}C^{\infty }$-Mannigfaltigkeit ${}M$ alle höheren Kohomologien gleich ${}0$ sind. Für eine riemannsche Fläche folgt daher aus Fakt mit den Ausschnitten (für ${}i\geq 2$)

$H^{i-1}(X,{\mathcal {E}})=0{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{i+1}(X,{\mathcal {E}}^{(0,1)})=0$

aus der langen Kohomologiesequenz sofort

${}H^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0\,$

für ${}i\geq 2$. Für höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten sind auch höhere Kohomologien der Strukturgarbe wichtig.