Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2) und von (2) nach (3) sind Einschränkungen. Es sei (3) erfüllt. Es sei  ${}V\subseteq Y$  eine offene Teilmenge und  ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$  eine holomorphe Funktion. Die Durchschnitte ${}V\cap V_{i}$, ${}i\in I$, bilden dann eine offene Überdeckung von ${}V$. Nach (3) sind dann die

${}f{|}_{V\cap V_{i}}\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V\cap V_{i})}={\left(f\circ {\left(\varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}\right)}\right)}{|}_{\varphi ^{-1}(V\cap V_{i})}\,$

holomorph. Da die Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist, ist ${}f\circ {\left(\varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}\right)}$ selbst holomorph.

Von (2) nach (4) und von (4) nach (5) ist klar. Es sei also (5) erfüllt, wir werden (3) zeigen. Ohne Einschränkung können wir  ${}I=\{i\}$, 

${}V_{i}=Y\subseteq {\mathbb {C} }\,$

offen und

${}X=\bigcup _{j\in J}U_{j}\,$

mit Kartengebieten ${}U_{j}$ annehmen. Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}Y$. Es ist die Holomorphie von

$f\circ \varphi {|}_{U_{j}}\colon U_{j}\longrightarrow Y\subseteq {\mathbb {C} }$

für jedes ${}U_{j}$ nachzuweisen. Somit ist zu zeigen, dass

$f\circ \varphi {|}_{U_{j}}\circ \alpha _{j}^{-1}\colon \alpha _{j}(U_{j})\longrightarrow Y\subseteq {\mathbb {C} }$

holomorph ist. Nach Voraussetzung (5) ist ${}\varphi {|}_{U_{j}}\circ \alpha _{j}^{-1}$ holomorph und somit ist auch diese Hintereinanderschaltung mit ${}f$ holomorph.

Zur bewiesenen Aussage