Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Charakterisierungen/Fakt

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen und sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist holomorph.
2. Für jedes Kartengebiet ${}V\subseteq Y$ und für jede holomorphe Funktion ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ ist ${}f\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}$ holomorph.
3. Es gibt eine offene Überdeckung ${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ mit Kartengebieten ${}V_{i}\subseteq Y$ derart, dass für jede holomorphe Funktion ${}f_{i}\in \Gamma (V_{i},{\mathcal {O}}_{Y})$ auch ${}f_{i}\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V_{i})}$ holomorph ist.
4. Für beliebige Kartengebiete ${}V\subseteq Y$ und

   ${}U\subseteq \varphi ^{-1}(V)\subseteq X\,$

   mit Kartenabbildungen ${}\beta \colon V\rightarrow \beta (V)\subseteq {\mathbb {C} }$ und ${}\alpha \colon U\rightarrow \alpha (U)\subseteq {\mathbb {C} }$ ist

   $\beta \circ \varphi {|}_{U}\circ \alpha ^{-1}\colon \alpha (U)\longrightarrow \beta (V)$

   holomorph.

5. Es gibt eine offene Überdeckung ${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ mit Kartengebieten ${}V_{i}$ und offene Überdeckungen ${}\varphi ^{-1}(V_{i})=\bigcup _{j\in J_{i}}U_{j}$ mit Kartengebieten ${}U_{j}$ von ${}X$ derart, dass die Hintereinanderschaltungen

   $\beta _{i}\circ \varphi {|}_{U_{j}}\circ \alpha _{j}^{-1}\colon \alpha (U_{j})\longrightarrow \beta (V_{i})$

   holomorph sind.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen