Riemannsche Flächen/Integral/Rationale Funktion/Polynomiale Bedingung/Fakt

Es sei ${}R(z,w)$ eine rationale Funktion in den beiden Variablen ${}z$ und ${}w$ und es sei ${}P(z,w)$ ein Polynom in ${}z$ und ${}w$, das kein Teiler des Nenners von ${}R$ sei. Es sei

${}V={\left\{(z,w)\mid P(z,w)=0,\,glatt\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}\,$

das glatte Nullstellengebilde zu ${}P$. Es sei

$\beta \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto \beta (t),$

ein differenzierbarer Weg mit ${}P(t,\beta (t))=0$ für ${}t\in [a,b]$ und es sei ${}R(t,\beta (t))$ ohne Polstelle auf dem Intervall.

Dann ist ${}\omega =R(z,w)dz$ eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge von ${}V$ und

${}\int _{a}^{b}R(t,\beta (t))dt=\int _{\gamma }\omega \,,$

wobei ${}\gamma (t)=(t,\beta (t))$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen