Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Geschlechsabschätzung/Holomorphe Differentialformen/Aufgabe/Lösung

1. Der Rückzug von Differentialformen ist eine lineare Abbildung

   $\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,\omega \longmapsto \varphi ^{*}\omega ,$

   es genügt also zu zeigen, dass der Kern trivial ist. Wegen der Voraussetzungen ist die Abbildung endlich und besitzt lokal in jedem Punkt ${}P\in X$ die Gestalt ${}z\mapsto z^{k}=w$ mit einem lokalen Parameter im Bildpunkt ${}Q$. Eine Differentialform ${}\omega$ besitzt lokal in ${}Q$ die Gestalt ${}fdw$ mit einer holomorphen Funktion ${}f(w)$. Bei ${}\omega \neq 0$ ist ${}f\neq 0$. Die Form wird auf

   ${}f(z^{k})dz^{k}=kz^{k-1}f(z^{k})dz\,$

   zurückgezogen und dies ist nicht die Nullform.

2. Nach Teil (1) ist das Bild von ${}\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}$ unter dem Rückzug ein Untervektorraum von ${}\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ und besitzt daher höchstens dessen Dimension. Die Aussage folgt somit mit Fakt.

Zur gelösten Aufgabe