Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch und torsionsfrei/Koszul-Eigenschaft/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der Torsionsfreiheit gilt

${}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,,$

${}\nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V=[V,Z]\,$

und

${}\nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W=[W,Z]\,,$

wobei wir die erste Identität auch als

${}\nabla _{V}W+\nabla _{W}V=2\nabla _{V}W-[V,W]\,$

auffassen. Wegen metrisch gelten die Identitäten

${}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,,$

${}D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle =\left\langle \nabla _{W}Z,V\right\rangle +\left\langle Z,\nabla _{W}V\right\rangle \,$

und

${}D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{Z}V,W\right\rangle +\left\langle V,\nabla _{Z}W\right\rangle \,.$

Wir addieren die Gleichungen zusammen und erhalten

$D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W+\nabla _{W}V,Z\right\rangle +\left\langle \nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W,V\right\rangle +\left\langle \nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V,W\right\rangle \,.$

In die rechte Seite setzen wir die oben erzielten Ausdrücke ein und erhalten

${}{\begin{aligned}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle &=\left\langle 2\nabla _{V}W-[V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle \\&=2\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle -\left\langle [V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle .\end{aligned}}$

Eine Umstellung ergibt die Formel.

Aufgrund der Gleichung ist ${}\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle$ für beliebige Vektorfelder durch die rechte Seite festgelegt, in der der Zusammenhang gar nicht vorkommt. Da dies für jedes Vektorfeld ${}Z$ gilt, ist dadurch auch die vertikale Ableitung ${}\nabla _{V}W$ und damit der lineare Zusammenhang eindeutig festgelegt.

Zur bewiesenen Aussage