Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch und torsionsfrei/Koszul-Eigenschaft/Eindeutigkeit/Fakt
Koszul-Formel für metrischen und torsionsfreien Zusammenhang.
Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei.
Dann gilt für stetig differenzierbare Vektorfelder auf jeder offenen Menge die sogenannte Koszul-Formel
![{\displaystyle \left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle -\left\langle W,[V,Z]\right\rangle -\left\langle Z,[W,V]\right\rangle +\left\langle V,[Z,W]\right\rangle \right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97668055518cb393256ede34d9fc840b94b5c1b)
Insbesondere kann es nur einen Zusammenhang mit diesen Eigenschaften geben.