Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt

Es sei ${}T$ eine endliche Menge von Primzahlen und sei ${}s$ eine komplexe Zahl mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>0$. Es sei ${}M(T)$ die Menge aller natürlichen Zahlen, die sich als Produkt von Primzahlen aus ${}T$ darstellen lassen. Dann ist

${}\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n\in M(T)}{\frac {1}{n^{s}}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen