Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}T=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$. Es ist ${}{|}p^{-s}{|}<1$ nach Voraussetzung über den Realteil. Unter Verwendung der geometrischen Reihe ergibt sich

${}{\begin{aligned}\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}&={\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}\\&=\left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}\\&=\sum _{n\in M(T)}n^{-s}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage