Riemannscher Hebbarkeitssatz

Aussage

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet, $z_{0}\in G$ und $f\colon G\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ holomorph. Genau dann ist $f$ holomorph nach $z_{0}$ fortsetzbar, wenn es eine Umgebung $U\subseteq G$ von $z_{0}$ gibt, so dass $f$ auf $U\setminus \{z_{0}\}$ beschränkt ist.

Beweis

Sei $r>0$ so gewählt, dass ${\bar {B}}_{r}(z_{0})\subseteq U$ gilt und sei $M$ eine obere Schranke für $f$ auf $U$.

Wir betrachten die Laurent-Reihe von $f$ um $z_{0}$. Es ist

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n},\qquad a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw$

Abschätzen von $a_{n}$ nach oben liefert die sogenannten Cauchy-Abschätzungen, es ist

${\begin{array}{rl}|a_{n}|&=\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\right|\\&\leq \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {|f(w)|}{|w-z_{0}|^{n+1}}}\,|dw|\\&\leq \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {M}{r^{n+1}}}\,|dw|\\&=\displaystyle {\frac {M}{r^{n}}}\\\end{array}}$

Für $n<0$ folgt also

$|a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}=Mr^{-n}\to 0,\quad r\to 0$

Also ist $a_{n}=0$ für jedes $n<0$, das heißt, wir haben $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ und $f(z_{0}):=a_{0}$ ist eine holomorphe Fortsetzung von $f$ nach $z_{0}$.