Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung

Laurententwicklung um einen Punkt

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet, $z_{0}\in G$ und $f\colon G\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Eine Laurententwicklung von $f$ um $z_{0}$ ist eine Darstellung von $f$ als Laurent-Reihe

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

mit $a_{n}\in \mathbb {C}$ , die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt $z_{0}$ ) Kreisscheibe um $z_{0}$ konvergiert.

Laurententwicklung auf einem Kreisring

Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien $0\leq r_{1}<r_{2}$ zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht $r_{1}=0$ ), und sei $A_{r_{1},r_{2}}:=\{z\in \mathbb {C} :r_{1}<|z-z_{0}|<r_{2}\}$ ein Kreisring um $z_{0}$ , sei weiterhin $f\colon A\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, dann ist die Laurent-Reihe

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

mit $a_{n}\in \mathbb {C}$ eine Laurententwicklung von $f$ auf $A_{r_{1},r_{2}}$ , wenn die Reihe für alle $z\in A_{r_{1},r_{2}}$ konvergiert.

Existenz

Jede auf $A_{r_{1},r_{2}}$ holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um $z_{0}$ , die Koeffizienten $a_{n}$ aus obiger Darstellung sind durch

a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz

für einen Radius $r$ mit $r_{1}<r<r_{2}$ gegeben.

Eindeutigkeit

Die Koeffizienten sind eindeutig durch

a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz

bestimmt.

Beweis von Existenz und Eindeutigkeit einer Laurentdarstellung

Die Eindeutigkeit folgt aus dem Identitätssatz für Laurent-Reihen. Zur Existenz wähle ein $r$ mit $r_{1}<r<r_{2}$ und $R_{1},R_{2}$ so dass $r_{1}<R_{1}<r<R_{2}<r_{2}$ . Sei nun $z\in A_{R_{1},R_{2}}$ beliebig. "Schneide" den Kreisring $A_{R_{1},R_{2}}$ an zwei Stellen durch Radien $D_{1}$ und $D_{2}$ ein, so dass der Zyklus $\partial K_{R_{2}}-\partial K_{R_{1}}$ als Summe zweier geschlossener, in $A$ nullhomotopen Kurven $C_{1}$ und $C_{2}$ dargestellt ist. Dabei seien $D_{1}$ und $D_{2}$ so gewählt, dass $z$ von $C_{1}$ umlaufen wird. Nach dem Integralsatz von Cauchy gilt nun

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{1}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

und

0={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{2}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

da $C_{2}$ den Punkt $z$ nicht umläuft. Also ist wegen $C_{1}+C_{2}=\partial K_{R_{2}}-\partial K_{R_{1}}$

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=R_{2}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=R_{1}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

Wir haben für $|w-z_{0}|=R_{2}$

{\begin{array}{rl}\displaystyle {\frac {1}{w-z}}&=\displaystyle {\frac {1}{(w-z_{0})-(z-z_{0})}}\\&=\displaystyle {\frac {1}{w-z_{0}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z-z_{0}}{w-z_{0}}}}}\\&=\displaystyle {\frac {1}{w-z_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z-z_{0})^{n}}{(w-z_{0})^{n}}}\end{array}}

Die Reihe konvergiert wegen $|z-z_{0}|<|w-z_{0}|$ absolut und wir erhalten

{\begin{array}{rl}\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=R_{2}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=R_{2}}{\frac {1}{w-z_{0}}}{\frac {f(w)(z-z_{0})^{n}}{(w-z_{0})^{n}}}\,dw\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{|w-z_{0}|=R_{2}}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{n}\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{n}\end{array}}

Letzteres gilt, da der Integrand auf $A_{r_{1},r_{2}}$ holomorph ist und die beiden Wege in $A_{r_{1},r_{2}}$ homotop sind. Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis, es ist zunächst analog zu oben für $|w-z_{0}|=R_{1}$