Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung

Einleitung

Diese Seite zum Thema Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

(1) Verwendung des Cauchy-Kerns für Hauptteil und Nebenteil der Laurent-Reihe
(2) Berechnung der Koeffizient der Laurent-Reihe als Integraldarstellung

Laurententwicklung um einen Punkt

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet, $z_{0}\in G$ und $f\colon G\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Eine Laurententwicklung von $f$ um $z_{0}$ ist eine Darstellung von $f$ als Laurent-Reihe

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

mit $a_{n}\in \mathbb {C}$ , die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt $z_{0}$ ) Kreisscheibe um $z_{0}$ konvergiert.

Laurententwicklung auf einem Kreisring

Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien $0\leq r_{1}<r_{2}$ zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht $r_{1}=0$ ), und sei $A_{r_{1},r_{2}}:=\{z\in \mathbb {C} :r_{1}<|z-z_{0}|<r_{2}\}$ ein Kreisring um $z_{0}$ , sei weiterhin $f\colon A\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, dann ist die Laurent-Reihe

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

mit $a_{n}\in \mathbb {C}$ eine Laurententwicklung von $f$ auf $A_{r_{1},r_{2}}$ , wenn die Reihe für alle $z\in A_{r_{1},r_{2}}$ konvergiert.

Existenz

Jede auf $A_{r_{1},r_{2}}$ holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um $z_{0}$ , die Koeffizienten $a_{n}$ aus obiger Darstellung sind durch

a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz

für einen Radius $r$ mit $r_{1}<r<r_{2}$ gegeben.

Eindeutigkeit

Die Koeffizienten sind eindeutig durch

a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz

bestimmt.

Beweis - Laurentdarstellung

Der Beweis gliedert sich in zwei Teile:

Eindeutigkeit der Darstellung und
Existenz der Darstellung.

Beweisteil 1 - Eindeutigkeit

Die Eindeutigkeit folgt aus dem Identitätssatz für Laurent-Reihen, wobei der Identitätssatz für Potenzreihe sowohl für den Nebenteil als auch für den transformierten Hauptteil der Laurent-Reihe angewendet wird.

Beweisteil 2 - Existenz der Laurent-Darstellung

Zur Existenz wähle für $r_{0}<R_{0}$ der offenen Kreisscheibe ein $r,R$ , so dass $r_{0}<r<R<R_{0}$ . Sei nun $z\in K_{r,R}$ aus dem Inneren des Kreisringes beliebig gewählt.

Beweisteil 2.1 - Kreisring für Laurent-Darstellung

Für den Kreisring $K_{r,R}$ seien nun zwei nullhomotope Kurven $\gamma _{r}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ und $\gamma _{R}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ in $K_{r_{0},R_{0}}$ gewählt.

\gamma _{r}(t):=z_{o}+r\cdot e^{it}\qquad \gamma _{R}(t):=z_{o}+R\cdot e^{-it}

Beweisteil 2.2 - Nullhomologer Zyklus für den Kreisring

Über $\Gamma :=\gamma _{R}+\gamma _{r}$ wird ein nullhomologer Zyklus für den Kreisring $K_{r,R}$ definiert.

Beweisteil 2.3 - Anwendung Integralsatz von Cauchy

Nach dem Integralsatz von Cauchy für nullhomologe Zyklen gilt nun

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

und

0={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma _{r}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

da $\gamma _{r}$ wegen $|z-z_{0}|>r$ den Punkt $z$ nicht umläuft.

Beweisteil 2.4 - Zerlegung des Integrals

Also ist wegen $\gamma _{R}+\gamma _{r}=\partial D_{R}(z_{0})-\partial D_{r}(z_{0})$

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=R}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

Beweisteil 2.5 - Cauchykern

Bei der Integration über den $\gamma _{R}$ gilt $|w-z_{0}|=R$ für alle $z\in Spur(\gamma _{R})$ und über die Verwendung des Cauchy-Kerns und des Grenzwertes einer geometrischen Reihe erhält man:

{\begin{array}{rl}\displaystyle {\frac {1}{w-z}}&=\displaystyle {\frac {1}{(w-z_{0})-(z-z_{0})}}\\&=\displaystyle {\frac {1}{w-z_{0}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z-z_{0}}{w-z_{0}}}}}\\&=\displaystyle {\frac {1}{w-z_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z-z_{0})^{n}}{(w-z_{0})^{n}}}\end{array}}

Beweisteil 2.6 - Konvergenz der Reihe

Die (geometrische) Reihe konvergiert wegen $|z-z_{0}|<|w-z_{0}|$ absolut und man erhält die Darstellung

{\begin{array}{rl}\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=R}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=R}{\frac {1}{w-z_{0}}}{\frac {f(w)(z-z_{0})^{n}}{(w-z_{0})^{n}}}\,dw\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{|w-z_{0}|=R}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{n}\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{n}\end{array}}

Beweisteil 2.7 - Verkleinerung des Radius

Die letzte Gleichung gilt, da der Integrand auf dem Kreisring $K_{r_{0},R_{0}}$ holomorph ist und die beiden Wege $\gamma _{R}$ und $-\gamma _{r}$ in $K_{r_{0},R_{0}}$ homotop sind (sich also die Umlaufzahlen für komplexe Zahlen im Komplement von $K_{r_{0},R_{0}}$ nicht unterscheiden).

Beweisteil 2.8 - Integral über inneren Kreisrand

Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis mit $|w-z_{0}|=r$ (also über $-\gamma _{r}$ ). Es wird zunächst analog mit zum Vorgehen für $|w-z_{0}|=R$ entwickelt. Allerdings muss in diesem Fall für die geometrische Reihe darauf geachtet werden, dass $|q|=\left|{\frac {w-z_{0}}{z-z_{0}}}\right|<1$ für die Konvergenz gilt. Zählen und Nenner werden wegen $|w-z_{0}|<|z-z_{0}|$ im Vergleich zum Beweisteil 2.5 getauscht.