Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung

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Laurententwicklung um einen Punkt[Bearbeiten]

Es sei ein Gebiet, und eine holomorphe Funktion. Eine Laurententwicklung von um ist eine Darstellung von als Laurent-Reihe

mit , die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt ) Kreisscheibe um konvergiert.

Laurententwicklung auf einem Kreisring[Bearbeiten]

Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht ), und sei ein Kreisring um , sei weiterhin eine holomorphe Funktion, dann ist die Laurent-Reihe

mit eine Laurententwicklung von auf , wenn die Reihe für alle konvergiert.

Existenz[Bearbeiten]

Jede auf holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um , die Koeffizienten aus obiger Darstellung sind durch

für einen Radius mit gegeben.

Eindeutigkeit[Bearbeiten]

Die Koeffizienten sind eindeutig durch

bestimmt.

Beweis von Existenz und Eindeutigkeit einer Laurentdarstellung[Bearbeiten]

Die Eindeutigkeit folgt aus dem Identitätssatz für Laurent-Reihen. Zur Existenz wähle ein mit und so dass . Sei nun beliebig. "Schneide" den Kreisring an zwei Stellen durch Radien und ein, so dass der Zyklus als Summe zweier geschlossener, in nullhomotopen Kurven und dargestellt ist. Dabei seien und so gewählt, dass von umlaufen wird. Nach dem Integralsatz von Cauchy gilt nun

und

da den Punkt nicht umläuft. Also ist wegen

Wir haben für

Die Reihe konvergiert wegen absolut und wir erhalten

Letzteres gilt, da der Integrand auf holomorph ist und die beiden Wege in homotop sind. Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis, es ist zunächst analog zu oben für

damit ergibt sich wegen die Konvergenz der Reihe und damit

Zusammen folgt, dass für

und damit die Existenz der behaupteten Laurententwicklung.

Siehe auch[Bearbeiten]