Es sei
ein Gebiet,
und
eine holomorphe Funktion. Eine Laurententwicklung von
um
ist eine Darstellung von
als Laurent-Reihe
mit
, die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt
) Kreisscheibe um
konvergiert.
Laurententwicklung auf einem Kreisring
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Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien
zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht
), und sei
ein Kreisring um
, sei weiterhin
eine holomorphe Funktion, dann ist die Laurent-Reihe
mit
eine Laurententwicklung von
auf
, wenn die Reihe für alle
konvergiert.
Jede auf
holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um
, die Koeffizienten
aus obiger Darstellung sind durch
für einen Radius
mit
gegeben.
Die Koeffizienten sind eindeutig durch
bestimmt.
Beweis von Existenz und Eindeutigkeit einer Laurentdarstellung
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Die Eindeutigkeit folgt aus dem Identitätssatz für Laurent-Reihen. Zur Existenz wähle ein
mit
und
so dass
. Sei nun
beliebig. "Schneide" den Kreisring
an zwei Stellen
durch Radien
und
ein, so dass der Zyklus
als Summe zweier geschlossener, in
nullhomotopen Kurven
und
dargestellt ist. Dabei seien
und
so gewählt, dass
von
umlaufen wird. Nach dem Integralsatz von Cauchy gilt nun
und
da
den Punkt
nicht umläuft. Also ist wegen
Wir haben für
Die Reihe konvergiert wegen
absolut und wir erhalten
Letzteres gilt, da der Integrand auf
holomorph ist und die beiden Wege in
homotop sind. Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis, es ist zunächst analog zu oben für
damit ergibt sich wegen
die Konvergenz der Reihe und damit
Zusammen folgt, dass für
und damit die Existenz der behaupteten Laurententwicklung.