Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen im nicht kommutativen Fall je nur eine Hälfte.

1. Es ist ${}a0=a(0+0)=a0+a0$. Durch beidseitiges Abziehen von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.

2. ${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$

   nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$.

3. Nach (2) ist ${}(-a)(-b)=(-(-a))b$ und wegen ${}-(-a)=a$ (dies gilt in jeder Gruppe) folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
5. Dies folgt aus einer Doppelinduktion.

Zur bewiesenen Aussage