Ring/Ringhomomorphismus nach Endomorphismenring/Fakt/Beweis

Beweis

Für jedes ${}f\in R$ ist die Multiplikation

\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,

ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus der Distributivität und der Eigenschaft ${}f0=0$ folgt. Die Gesamtabbildung ist also wohldefiniert.

Für die Gesamtzuordnung ${}f\mapsto \mu _{f}$ gilt zunächst ${}\mu _{0}=0$ und ${}\mu _{1}=\operatorname {id} =1$ . Wegen

{}\mu _{f_{1}+f_{2}}(g)=(f_{1}+f_{2})g=f_{1}g+f_{2}g=\mu _{f_{1}}(g)+\mu _{f_{2}}(g)=(\mu _{f_{1}}+\mu _{f_{2}})(g)\,

für jedes ${}g\in R$ ist ${}\mu$ additiv. Die Multiplikativität folgt aus

{}\mu _{f_{1}f_{2}}(g)=f_{1}f_{2}g=\mu _{f_{1}}(f_{2}g)=\mu _{f_{1}}(\mu _{f_{2}}(g))=(\mu _{f_{1}}\circ \mu _{f_{2}})(g)\,.

Schließlich ist die Abbildung injektiv, da aus ${}\mu _{f}=0$ folgt, dass insbesondere ${}f=f1=0$ sein muss.