Ringhomomorphismus/Z nach R/Kanonisch/Fakt/Beweis

Beweis

Ein Ringhomomorphismus muss die ${}1$ auf die ${}1_{R}$ abbilden. Deshalb gibt es nach Fakt genau einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow (R,+,0),\,n\longmapsto n1_{R}.$

Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass ${}(mn)1_{R}=(m1_{R})*(n1_{R})$. ist, wobei ${}*$ hier die Multiplikation in ${}R$ bezeichnet. Dies folgt für ${}m,n\geq 0$ aus dem allgemeinen Distributivgesetz. Daraus folgt es für beliebige ${}m,n$ aufgrund der Vorzeichenregeln.

Zur bewiesenen Aussage