Ringtheorie/Kommutativer Ring/Ausführlich direkt mit Gruppe/Definition

Kommutativer Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}(R,+,0)$ ist eine kommutative Gruppe.
2. Die Multiplikation ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung und ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation.
3. Es gilt das Distributivgesetz, also

   ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$

   für alle ${}a,b,c\in R$.