Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition

Ring

Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R⟶R\text{ und }\cdot :R\times R⟶R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente  $0,1\in R$  gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle  $a,b,c\in R$  gilt  $(a+b)+c=a+(b+c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  $a,b\in R$  gilt  $a+b=b+a$. 
   3. $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle  $a\in R$  ist  $a+0=a$. 
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem  $a\in R$  gibt es ein Element  $b\in R$  mit  $a+b=0$. 
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle  $a,b,c\in R$  gilt  $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. 
   2. $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle  $a\in R$  ist  $a\cdot 1=1\cdot a=a$. 
3. Distributivgesetz: Für alle  $a,b,c\in R$  gilt  $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$  und  $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.