Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition

Ring

Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente  ${}0,1\in R$  gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in R$  gilt  ${}(a+b)+c=a+(b+c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  ${}a,b\in R$  gilt  ${}a+b=b+a$. 
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle  ${}a\in R$  ist  ${}a+0=a$. 
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem  ${}a\in R$  gibt es ein Element  ${}b\in R$  mit  ${}a+b=0$. 
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in R$  gilt  ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. 
   2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle  ${}a\in R$  ist  ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$. 
3. Distributivgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in R$  gilt  ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$  und  ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.