Rotationsfläche zu ebener Kurve/Flächenberechnung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $S$ die Rotationsfläche, die eine abgeschlossene zweidimensionale Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge des ${ℝ}^3$ ist. Wir wenden Fakt auf die Parametrisierung

$]a,b[\times ]0,2\pi [⟶S,(t,\alpha )⟼(x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha ),$

an. Die partiellen Ableitungen sind

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)\\ y^{\prime }(t)\cos \alpha \\ y^{\prime }(t)\sin \alpha \end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{c}0\\ -y(t)\sin \alpha \\ y(t)\cos \alpha \end{array}\right)$

und daher ist

$E(t,\alpha )=(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2,F(t,\alpha )=0,G(t,\alpha )=(y(t){)}^2.$

Somit ist der Flächeninhalt gleich

${\int }_a^b{\int }_0^{2\pi }\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}\cdot y(t)d\alpha dt=2\pi {\int }_a^b\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}\cdot y(t)dt.$

Zur bewiesenen Aussage