Rotationsmenge zu Graph/Volumen ist 0/Direkt/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass ${}\lambda ^{3}(M)>0$ ist. Wir betrachten für ${}c\geq 1$ die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&c&0\\0&0&c\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung ${}L_{c}$ des ${}\mathbb {R} ^{3}$ in sich. Wir setzen

$M_{c}=L_{c}(M).$

Für ${}c\neq c'$ sind ${}M_{c}$ und ${}M_{c'}$ disjunkt, da aus

${\begin{pmatrix}x\\cf(x)\cos \alpha \\cf(x)\sin \alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\c'f(x')\cos \alpha '\\c'f(x')\sin \alpha '\end{pmatrix}}$

sofort ${}x=x'$ und somit aus der Gleichheit der zweiten und dritten Zeile die „Radius“-Beziehung ${}c^{2}f(x)=(c')^{2}f(x)$, also ${}c=c'$ folgt. Nach der Volumenformel für lineare Abbildungen ist

${}\lambda ^{3}(M_{c})=c^{2}\lambda ^{3}(M)\geq \lambda ^{3}(M)\,.$

Daher ist einerseits

${}\lambda ^{3}{\left(\bigcup _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }M_{c}\right)}=\sum _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }\lambda ^{3}(M_{c})\geq \sum _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }\lambda ^{3}(M)=\infty \,.$

Andererseits ist aber diese Menge in

$[a,b]\times [-R,R]\times [-R,R]$

mit ${}R=2\cdot {\operatorname {sup} \,(f(x),x\in [a,b])}$ enthalten (wegen der Stetigkeit existiert das Supremum auf dem kompakten Intervall),

die endliches Maß besitzt, sodass wir einen Widerspruch erhalten.

Zur gelösten Aufgabe