SL2C und SO3R/Vorbereitungen/Textabschnitt

Die projektive komplexe Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ist die Menge aller Geraden im ${}{\mathbb {C} }^{2}$ durch den Nullpunkt; sie ist topologisch betrachtet eine Sphäre ${}S^{2}$. Diesen Zusammenhang kann man explizit machen, indem man als Zwischenschritt mit ${}{\mathbb {C} }\cup \{\infty \}$ arbeitet. Diese erweiterte komplexe Ebene steht einerseits mit der projektiven Geraden (${}{\mathbb {C} }$ ist eine affine Karte der projektiven Gerade, die den „unendlich fernen Punkt“ ${}\infty$ nicht enthält) und andererseits mit der Sphäre über die stereographische Projektion in Bijektion (${}\infty$ entspricht dabei dem Nordpol).

Eine komplexe Zahl ${}u\in {\mathbb {C} }$ definiert die von ${}(u,1)\in {\mathbb {C} }^{2}$ erzeugte Gerade und damit den Punkt (in homogenen Koordinaten) ${}(u:1)$ der komplex-projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$. Die Umkehrabbildung ist durch ${}(u:v)\mapsto {\frac {u}{v}}$ gegeben, die für ${}v\neq 0$ definiert ist. Dem Punkt ${}(1,0)$ entspricht der unendlich ferne Punkt ${}\infty$.

Die Umkehrabbildung der stereographischen Projektion ist die Abbildung

${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S^{2}\setminus \{N\},\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{2}}}\left(2\operatorname {Re} \,{\left(z\right)},\,2\operatorname {Im} \,{\left(z\right)},\,\vert {z}\vert ^{2}-1\right)={\frac {1}{1+a^{2}+b^{2}}}\left(2a,\,2b,\,a^{2}+b^{2}-1\right).$

Die Gesamtabbildung

${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{(1:0)\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow S^{2}\setminus \{N\}$

besitzt insgesamt die Beschreibung

$(u:v)\longmapsto {\frac {1}{1+\vert {\frac {u}{v}}\vert ^{2}}}\left(2\operatorname {Re} \,{\left({\frac {u}{v}}\right)},\,2\operatorname {Im} \,{\left({\frac {u}{v}}\right)},\,\vert {\frac {u}{v}}\vert ^{2}-1\right).$

Mit ${}u=a+b{\mathrm {i} }$ und ${}v=c+d{\mathrm {i} }$ schreibt man dies (unter Verwendung von ${}\vert {v}\vert ^{2}=v{\overline {v}}$) als

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{1+\vert {\frac {u}{v}}\vert ^{2}}}\left(2\operatorname {Re} \,{\left({\frac {u}{v}}\right)},\,2\operatorname {Im} \,{\left({\frac {u}{v}}\right)},\,\vert {\frac {u}{v}}\vert ^{2}-1\right)&={\frac {1}{\vert {u}\vert ^{2}+\vert {v}\vert ^{2}}}\left(2\operatorname {Re} \,{\left(u{\overline {v}}\right)},\,2\operatorname {Im} \,{\left(u{\overline {v}}\right)},\,\vert {u}\vert ^{2}-\vert {v}\vert ^{2}\right)\\&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\left(2ac+2bd,\,2bc-2ad,\,a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right).\,\end{aligned}}$

Diese Formel zeigt, dass die Abbildung für alle ${}(u:v)\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ definiert ist, wobei ${}(1:0)$ auf den Nordpol ${}(0,0,1)$ abgebildet wird. Es liegt also eine explizite Bijektion ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow S^{2}$ vor. Die Umkehrabbildung ist (für $(x_{1},x_{2},x_{3})\neq (0,0,1)$ mit $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$) durch

$(x_{1},x_{2},x_{3})\longmapsto \left(x_{1}+x_{2}{\mathrm {i} }:1-x_{3}\right)$

gegeben. Wenn man eine normierte Repräsentierung dieses Punktes erhalten möchte, so muss man durch ${}{\sqrt {2-2x_{3}}}$ dividieren.

Insbesondere erhält man eine explizite (in den natürlichen Topologien stetige) Abbildung

${\mathbb {C} }^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow S^{2},$

deren Fasern genau die punktierten komplexen Geraden sind.

Die natürliche Operation der ${}\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${}{\mathbb {C} }^{2}$ - und das gilt auch für jede endliche Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ - induziert eine Operation auf der Menge der eindimensionalen Untervektorräume (also der komplexen Geraden durch den Nullpunkt) und damit auf ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$. Eine Gerade ${}H\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ wird durch ${}\sigma \in \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ einfach auf die Bildgerade ${}\sigma (H)$ abgebildet. Eine Gerade ${}\langle (u,v)\rangle$ wird unter ${}\sigma ={\begin{pmatrix}\ell &m\\n&p\end{pmatrix}}$ auf die Gerade ${}\langle (\ell u+mv,nu+pv)\rangle$ abgebildet, bzw. in homogenen Koordinaten

$(u:v)\longmapsto (\ell u+mv:nu+pv).$

Dabei wirken Streckungen, also Abbildungen der Form ${}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ mit ${}s\neq 0$, trivial auf der Menge der Geraden und auf der projektiven Geraden. Da man jede invertierbare Matrix als Produkt einer solchen Streckungsmatrix und einer invertierbaren Matrix mit Determinante ${}1$ schreiben kann, muss man im Wesentlichen die Operation der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf der projektiven Geraden verstehen. Die einzige Matrix ${}M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ neben der Einheitsmatrix, die sämtliche Geraden auf sich selbst abbildet, ist

${}-E_{2}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Die Restklassengruppe

$\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}/{\left(K^{\times }\cdot \operatorname {Id} \cap \operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\right)}$

heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit

$\operatorname {PSL} _{n}\!{\left(K\right)}$

bezeichnet.

Insbesondere ist ${}\operatorname {PSL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\cong \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}/\{\pm E_{2}\}$. Diese Gruppe operiert in natürlicher Weise treu und transitiv auf der projektiven Geraden. Mittels der obigen Identifizierung ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}$ kann man die Operation der Gruppen (und Untergruppen) ${}\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {PSL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ zu einer Operation dieser Gruppen auf der zweidimensionalen Sphäre übersetzen. Es stellt sich heraus, dass die zugehörigen Automorphismen im Allgemeinen nicht längentreu sind. Um dies zu erreichen, arbeiten wir mit der unitären Gruppen ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$.